橢圓二重積分極坐標 1

　　根據極坐標和直角坐標的轉化公式，代人D的'不等式中即可，極坐標的基本公式x=rcosθ,y=rsinθ，由此可知x+y=r^2，代人x+y≦x+y中有r^2≤rcosθ+rsinθ，由于r≥0，所以0≦r≦sinθ+cosθ。

　　注意事項：

　　熟記二重積分的性質，在運算中占有重要作用，特別是在繁瑣的工科計算中，性質決定成敗。

　　在給定條件下，學會畫區域圖像，畫的越標準，越好，可以借助畫圖工具，圖像畫好，成功了一半。

　　區分此圖像是X型還是Y型，X型平行于Y軸，Y型平行于X軸。確定了之后根據各自的公式計算，切記一定要細心。積分完成后，一定不要忘記相減，還有**號的變正。

橢圓二重積分極坐標（精選一篇）擴展閱讀

橢圓二重積分極坐標（精選一篇）（擴展1）

——photoshop極坐標轉換匯總一篇

　　photoshop極坐標轉換 1

photoshop極坐標轉換

　　人造行星計劃

　　《小王子》是法國作家圣德克旭貝里的童話名作。在浩瀚的宇宙中，有一個比一間房子大不了多少的星球，上面住著一個小王子，他有幾棵樹，三座火山，兩座活火山，一座死火山，每天，他能看見43次日落。

　　遨游未知世界，發現屬于自己的領地，曾經是多少探險家的愛好和夢想。我們不是上帝，也沒有錢環游宇宙。但是，只要按照以下步驟簡單操作，一樣能得到屬于自己的星球。

　　記住，要制作出星球照片，僅需要5分鐘。但是，要想將這顆“星球”發入太空，可能需要更長的時間。

　　首先要說明的是，這種俯瞰星球效果需要全景照片（或是照片兩側相差不大的風景照片）。現在的數碼相機，基本都具有全景照片制作功能。當然，要得到一個好的全景照片，你還需要一個三角架。另外，制作中要用到Photoshop CS的極坐標濾鏡，該濾鏡是Photoshop自帶的，不用花費額外費用或是下載其他軟件。

　　在小小的星球上，摩天大樓拔地而起，像足了童話中小王子的一花一草星球。

　　素材要求

　　剛才已經說過，要準備一張全景照片。但是，不是所有全景照片都符合“星球”的標準的。它必須符合以下幾點：

　　第一，長寬比至少為2:1，也就是說，長度是高度的2倍以上，此比例越大越好，但是不能小于2。

　　第二，照片的下方約四分之一范圍內的細節應該盡量少，最好選擇沙漠，水泥公路，海洋之類的場景。這是因為照片下方將成為“星球”的中心，出現強烈的扭曲失真。

　　第三，照片上半部分的背景應該簡單，最好為純色的藍天或者夜景。

　　第四，全景照的左右兩側應該完全吻合，至少是相當吻合。

　　第五，努力保證水平面的真正水平。很多粗心的攝影愛好者意識不到這一點，即使使用三角架，出來的效果也是斜斜一張。這在“星球”的制作中可是大忌。

　　接下來，我們來看兩個例子。第一個為較基礎的全景照片轉換，第二個需要進行裁剪處理。

　　例1：舊金山

　　上圖為典型的舊金山全景照片，拍攝于Coit塔的頂端。

　　第一步：設置圖像尺寸和旋轉

　　首先改變圖像的尺寸，將其轉換為標準的正方形。單擊圖像-->圖像大小，取消“約束比例”的復選框，并將長度和寬度設為相同的數值。接下來，將圖像旋轉180度。單擊圖像-->旋轉畫布-->180度。得到以下圖像：

　　第二步：使用極坐標濾鏡

　　接下來，就該使用濾鏡了。單擊濾鏡-->扭曲-->極坐標...，在彈出的對話框中，選擇“平面坐標到極坐標”，單擊“確定”。之后，得到如下效果：

　　一個星球的雛形誕生了！但是它似乎還有一些不足，大樓怎么是向下的？不免頗為不美。行百里者半九十，我們還要進行一些后期處理……

　　第三步：旋轉與整理

　　接下來，將這個“星球”旋轉到合適的角度，調解對比度合顏色，整理天空和全景照片接合處的圖象，此處可適當使用仿制圖章和歷史畫筆。得到最后效果：

　　雖然對于一個宇宙中的星球來說，是無所謂“上”和“下”的概念的，但是我們的讀圖習慣，總是要求大樓的尖頂在上面，海洋在下面。

　　例2：威尼斯星球

　　正如剛才所說，全景照片是制作“星球”的最好素材。但是在此例中，我們將把一張水城威尼斯的San Girgio Maggiore小島照片轉換為星球照。島嶼的照片非常適合“星球”的制作，因為它的左右兩側非常容易拼接到一起——只需要保證水平線的絕對水平。

　　第一步：裁剪與拉伸

　　這不是一張360度全景照片。因此，首先要進行裁剪工作。此步驟需要使用Photoshop的裁剪工具。要確保裁剪區域與地平線平行。選擇裁剪工具，并畫出一塊矩形。將鼠標移出所選區域外，待出現雙箭頭圖標時，使用鼠標拖拽，可放大，縮小，旋轉所選擇的區域。但此時先不要進行剪切。

　　現在，我們要確保圖象左右兩側的最佳吻合。找到圖象左右兩側高度相同的建筑。

　　拖拽鼠標，盡量做到水平，這一點非常關鍵。

　　雙擊裁剪區域或者按回車鍵確認裁剪。之后重復例1的步驟，得到最終效果如下：

　　怎么樣，是不是很簡單？以下有三張“星球”圖，你能認得出它們來源于什么照片嗎？

　　當然，這個方法用來惡搞也是非常有趣的。

　　Photoshop技巧：七種人物美白的快捷方法

　　人物美白是圖片處理中最為基礎的部分，如果操作適當的話可以省去很多繁瑣的操作。下面將非常詳細的介紹各種美白的方法，有的可能我們都很少見到。非常實用。

　　首先，大家先看下原圖和最終的效果圖。

　　原圖

　　最終效果圖

　　一、去色加圖層模式法（圖一）。

　　圖一

　　1、打開原圖素材，把背景圖層復制一層。

　　2、按Ctrl + Shift + U 去色。

　　3、圖層混合模式改為“濾色”，完成。

　　二、通道美白法（圖二）。

　　圖二

　　1、打開原圖素材。

　　2、按Ctrl + Alt + ~ 調出高光選區，新建一個圖層，填充白色，完成。

　　三、蒙版美白（圖三）。

　　圖三

　　1、打開原圖素材，雙擊解鎖。

　　2、新建一個圖層填充白色，把白**層拉到圖層的最下面。

　　3、選擇圖片層，執行：圖層 > 添加圖層蒙版 > 顯示全部。

　　4、按住Alt 鍵添加圖層蒙版，按Ctrl + V 粘貼。

　　5、執行：圖像 > 調整 > 反相，點一下蒙版的眼睛，完成。

　　四、Lab顏色法（圖四）。

　　圖四

　　1、打開素材圖片，按Ctrl + A 曲線，按Ctrl + C 復制。

　　2、新建一個文檔，按Ctrl + V 粘貼。

　　3、選擇菜單：圖像 > 模式 > Lab顏色。

　　4、切換到通道面板，刪除a通道。

　　5、回到圖層面板。選擇菜單：圖像 > 模式 > 灰度。

　　6、把灰度圖片拖到最開始打開的圖片文件中，圖層混合模式改為“濾色”，完工。

　　五、擴散亮光法（圖五）。

　　圖五

　　1、打開素材圖片，把背景色設置為白色。

　　2、按Ctrl + Alt + ~ 調出高光選區。

　　3、執行：濾鏡 > 扭曲 > 擴散亮光，數值：顆粒：0，發光量：自定，消除數量：0，完成。

　　六、光照效果法（圖六）。

　　圖六

　　1、打開原圖，復制一層。

　　2、執行：濾鏡 > 渲染 > 光照效果，光照類型：**源，顏色設為白色，如下圖。

　　3、把光照圖層的圖層模式改為“柔光”，完成。

　　七、圖像調整命名美白（圖七）。

　　圖七

　　1、打開原圖素材。

　　2、分別創建曲線、色相/飽和度、色階及色彩平衡調整圖層，參數設置如下圖，確定后完工。

　　PhotoShop為室內人物照片調出性感暖色調

　　參考片是法國著名攝影師Jean-Baptiste Mondino拍攝的D&G rose the one香水廣告大片。由好萊塢紅星Scarlett將夢露經典的性感姿態重新演繹出來。照片的色調慵懶而溫暖，整個畫面沉浸在夢幻而曖昧的柔粉色之中，讓人感受到一種極致的舒適、浪漫與性感。

　　參考片

　　借鑒這種影像風格的重點所在：

　　1.參考片的核心特點是畫面整體**在同一個色調中，沒有特別突出的色彩對比。這樣的柔粉色調比較適合性感的家居題材人像片，特別是私房類照片。背景以干凈的淺色為基礎，深色或明暗花色對比強烈的背景則不太適合處理成這樣的色調。

　　2.參考片中人物身體上的光線很均勻，沒有很強的光比。因此處理成柔粉色調后，膚色細膩明亮，非常干凈，既沒有明顯亮的高光部分，暗部也很柔和。所以我們在模仿此類色調調修時，也應選擇類似光線條件下拍攝的照片，即以柔和的正面光、反射光為主，人物背后有自然的窗光或較弱的逆光則效果更佳。

　　3.制作這種色調，需要先調整原片的亮度和對比度，然后整體做一層色彩。應該特別注意膚色的處理，使原本的黃膚色表現得更為柔和、細膩。在調修時保持一些原圖的色彩會更為自然。當然，這一步也可以通過調整圖層的透明度來**。

　　調修步驟 關鍵詞：曲線、圖層混合模式、高斯模糊、擴散亮光

　　重點：首先要用曲線把高光部分拉下來，讓原本光比較強的畫面稍微柔和一些;然后為畫面整體添加色彩，要注意人物的眼睛、嘴和牙齒都要單獨選出來;然后稍微虛化背景，適度增加一些柔光效果。

　　1.復制背景層，并進行基礎調整。在進行調整前，我們首先要復制背景層，避免在調整中直接對原圖進行修改。另外就是要對人物進行精致的調修了，包括人物的眼鏡、眉毛、皮膚等位置，這一步是最基本的修圖，這里就不對此進行詳細的介紹了。（圖一）

　　原片

　　圖一

　　2. 壓暗畫面中的高光部位。建立“曲線”調整圖層，壓暗照片中的高光部位。因為原圖中的高光部分過亮，在下一步為圖片加色的時候，高光部位無法上色，所以要在這一步將圖片的高光區域壓暗。注意：純黑和純白這兩個顏色是無法添加任何色彩的。（圖二）

　　圖二

　　圖三

　　3.添加色彩圖層。新建空白圖層并填充所需要的顏色。這個色彩的選擇是根據要模仿的樣片色彩而定的。色值的選擇如圖所示。（圖三）

　　4. 改變畫面色調。（圖四。圖四—1）

　　圖四

　　圖四—1

　　將圖層的混合模式改為“顏色”，使顏色附著在圖片上。這一步的調整能讓整張圖片的顏色都**在一種色調里。然后降低色彩圖層的不透明度，這里將不透明度設置為“50%”，使原圖的顏色透過來一些，調整后的照片色彩會顯得比較自然。提示：“顏色”混合模式可以很好地保留圖像中的灰階。

　　5. 調整嘴唇色彩。（圖五、圖五—1）

　　圖五

　　圖五—1

　　放大圖像后感覺嘴唇的色彩不夠鮮艷，所以要填充相應的顏色，使顏色更加艷麗、突出。首先還是新建空白圖層，使用“畫筆”工具沿唇形描繪顏色。再把嘴的部分選出來，填充顏色。然后將該圖層的混合模式設置為“顏色”。調整后人物的嘴唇感覺色彩更加鮮艷。注意：在為嘴唇添加色彩的時候要細致，避免顏色影響到牙齒和面部，必要時可將圖片放大至100%以上進行調整。

　　6.還原部分色彩。（圖六、圖六—1）

　　圖六—1

　　由于之前的調整是針對整張圖片進行的，所以一些細節位置的色彩也會被改變(牙齒、眼部)，那么這一步的調整目的就是把這些部位的顏色調還原。首先將牙齒單獨選出來復制后粘貼在最上層，不透明度設置為50%即可，這樣不會顯得很突兀。眼部的調整方法和牙齒的調整方法相同。調整后人物會顯得更加干凈。注意：在選擇牙齒或者眼部的時候一定要羽化，否則粘貼后的圖層就不能與原圖很好地貼合，過渡會很生硬。

　　7.區域調色和整體調色。（圖七）

　　圖七

　　首先進行區域調色。建立“曲線”調整圖層，減藍、減綠、加紅，然后將照片的整體亮度稍稍提高，調整后的照片感覺色彩更加濃郁。整體觀察后會發現由于一再地提亮，使照片的暗部細節不夠暗，照片有些發飄，我們再次建立“曲線”調整圖層，在保證亮部不變的情況下，壓暗照片中的暗部，然后使用畫筆工具稍稍擦拭人物的頭發和眼部。

　　8.建立快照層。（圖八）

　　圖八

　　基本的調整結束后，我們可以為當前的調整結果建立一個快照層，避免在后面的調整時破環我們現有的調整效果。快照層的建立方法是單擊創建新快照按鈕，也可以使用快捷鍵“Ctrl+Shift+Alt+E”創建。提示：當你在處理圖片的時候感覺特別好，但是又擔心以后的操作會破壞調整結果而且無法找回時，就可以創建一個快照層。這樣，無論你以后對它進行了什么操作，都可以通過點擊快照快速返回當時的情況。

　　9.調整畫面的虛實結構。（圖九）

　　圖九

　　使用 “高斯模糊”濾鏡對快照層進行調整，這樣就可以虛化背景了。調整后建立蒙版，將人物的面部及胸部擦回來即可。

　　10.建立快照層，并調整高光區域。（圖十、圖十一、圖十二）

　　圖十

　　圖十一

　　圖十二

　　虛實關系確立后，我們需要稍稍調整照片的高光區域。建立快照圖層，并使用“擴散高光”工具調整照片，目的是提高反差，使畫面層次更加豐富。最后再建立圖層蒙版將人物還原。

　　最終效果

　　提示：“擴散高光”能夠在圖像中添加白色雜色，高光從圖像中心漸隱，使圖像看起來有一種光芒漫射的效果，高光的顏色由背景色決定。粒度是用來設置在圖像中添加的顆粒的密度;發光量是用來設置圖像中光的強度;**數量是用來設置圖像中受到濾鏡影響的范圍，該值越高，濾鏡影響的范圍就越小。

　　Photoshop常用工具的八大密技

　　密技一：

　　當你正在使用畫筆工具，要調整不透明度時，還要打開設置框，很麻煩。這時你可以直接按鍵盤上的數字鍵來設定。比如當你按一下“ 0”鍵時，則不透明度為100%。“ 1”鍵為10%。先按“ 4”再按“ 5”，那么不透明度則為45%，依次類推。

　　密技二：

　　我們需要多層選擇時，可以先用選擇工具選定文件中的區域，拉制出一個選擇虛框；然后按住“Alt”鍵，當光標變成一個右下角帶一小“-”的“+”號時（這表示減少被選擇的區域或象素），在第一個框的里面拉出第二個框；而后按住“ Shift”鍵，當光標變成一個右下角帶一小“+”的大“+”號時，再在第二個框的里面拉出第三個選擇框，這樣二者輪流使用，就可以進行多層選擇了。其實用這種方法也可以選擇不規則對象，自己去體會吧。

　　密技三：

　　在Photoshop中，有很多時候要修改設置的取值。一般情況會在取值框的又側有一個黑三角，點擊它會出現一個滑動標尺，拖動標尺就可以修改取值了，但有時不會十分精確。這時可以按鍵盤上的向下箭頭鍵（每按一下表示取值加一）和向上箭頭鍵（每按一下表示取值減一），來準確調整數值。如果按住“Shift”鍵不放，那么每按一下表示取值加十或減十。

　　密技四：

　　當我們編輯圖片文件時，有時要去掉選擇對象以外的圖片顏色，這時可以按鍵盤上的“Delete”鍵，選擇區以外就會變成背景色或透明的，這要看你設定的背景內容是什么了。

　　密技五：

　　當你需要快速隱藏工具欄和多個浮動面板時，逐一點擊面板上的關閉按鈕，接下來使用時又要打開，十分不方便。其實你可以同時按鍵盤上的“Shift”和“ Tab”鍵，這樣浮動面板會立即隱藏起來，從屏幕上消失，再同時按下兩鍵，面板又會顯現；如果只按下“Tab”鍵，則工具欄連同浮動面板會一起隱藏，再按以下該鍵，它們會同時顯現。

　　密技六：

　　去掉掃描圖片中的龜紋。由于印刷方面的原因，我們用掃描方式輸入電腦的圖片會有一些龜紋，如果在此基礎上進行處理，會影響以后的效果。這時你可以先用“Noise”濾鏡中的“Despeckle”做處理，這時圖片會變得稍微模糊；接著用“Sharpen”濾鏡中的“Sharpen Edge”（注意設置數值要小一些）再處理一下，就大功告成了，這時即使用放大工具觀察也不會出現龜紋了。

　　密技七：

　　當我們要復制文件中的選擇對象時，要使用編輯菜單中的復制命令。復制一次你也許覺不出麻煩，但要多次復制，一次一次的點擊就相不便了。這時你可以先用選擇工具選定對象，而后點擊移動工具，在按住“Alt”見不放。當光標變成一黑一白重疊在一起的兩個箭頭時，拖動鼠標到所需位置即可。若要多次復制，只要重復的放松鼠標就行了。

　　密技八：

　　我們使用Photoshop 一段時間后，文件夾中已經存放了大量的圖片和影像文件。當你要調用一個很久不用的文件，并且忘記了它的文件名時，需逐一打開文件夾中的文件來尋找，太麻煩了。我有一簡便的方法：Photoshop 的File 菜單下的Automate 中有一個Contact Sheet 命令，它可以給文件夾中的每個文件建立一個小縮圖，并存放在一個圖象文件中，這樣方便了以后的檢索和查閱，節省了你我的寶貴時間。

　　你可能不知道的50條Photoshop操作技巧

　　下面主要介紹了50條你可能忽視的Photoshop操作技巧，哪怕是一個小小的技巧有時候卻能**提升你的PS的操作效率！希望能對你有所幫助！

　　1、快速打開文件

　　雙擊Photoshop的背景空白處(默認為灰色顯示區域)即可打開選擇文件的瀏覽窗口。

　　2、隨意更換畫布顏色

　　選擇油漆桶工具并按住Shift點擊畫布邊緣，即可設置畫布底色為當前選擇的前景色。如果要還原到默認的顏色，設置前景色為25%灰度(R192，G192，B192)再次按住Shift點擊畫布邊緣。

　　3、選擇工具的快捷鍵

　　可以通過按快捷鍵來快速選擇工具箱中的某一工具，各個工具的字母快捷鍵如下：

　　選框-M、移動-V、套索-L、魔棒-W 、噴槍-J、 畫筆-B 、鉛筆-N 、橡皮圖章-S 、歷史記錄畫筆-Y 、橡皮擦-E 、模糊-R 、減淡-O 、鋼筆-P 、文字-T、度量-U、漸變-G、油漆桶-K、吸管-I、抓手-H、縮放-Z、默認前景和背景色-D、切換前景和背景色-X、編輯模式切換-Q、顯示模式切換-F

　　另外，如果我們按住Alt鍵后再單擊顯示的工具圖標，或者按住Shift鍵并重復按字母快捷鍵則可以循環選擇隱藏的工具。

　　4、獲得精確光標

　　按Caps Lock鍵可以使畫筆和磁性工具的光標顯示為精確十字線，再按一次可恢復原狀。

　　5、顯示/隱藏**板

　　按Tab鍵可切換顯示或隱藏所有的**板(包括工具箱)，如果按Shift+Tab則工具箱不受影響，只顯示或隱藏其他的**板。

　　6、快速恢復默認值

　　有些不擅長Photoshop的朋友為了調整出滿意的效果真是幾經周折，結果發現還是原來的默認效果最好，這下傻了眼，后悔不該當初呀！怎么恢復到默認值呀？試著輕輕點按選項欄上的工具圖標，然后從上下文菜單中選取“復位工具”或者“復位所有工具”。

　　7、****大小

　　縮放工具的快捷鍵為“Z”，此外“Ctrl＋空格鍵”為放大工具，“Alt＋空格鍵”為縮小工具，但是要配合鼠標點擊才可以縮放；相同按Ctrl+“+”鍵以及“－”鍵分別也可為放大和縮小圖像；Ctrl+Alt+“+”和Ctrl+Alt+“－” 可以自動調整窗口以滿屏縮放顯示，使用此工具你就可以無論圖片以多少百份比來顯示的情況下都能全屏瀏覽！如果想要在使用縮放工具時按圖片的大小自動調整窗口，可以在縮放工具的屬性條中點擊“滿畫布顯示”選項。

　　8、使用非Hand Tool(手形工具)

　　按住空格鍵后可轉換成手形工具，即可移動視窗內圖像的可見范圍。在手形工具上雙擊鼠標可以使圖像以最適合的窗口大小顯示，在縮放工具上雙擊鼠標可使圖像以1:1的比例顯示。

　　9、在使用Erase Tool(橡皮擦工具)

　　按住Alt 鍵即可將橡皮擦功能切換成恢復到指定的步驟記錄狀態。

　　10、使用Smudge Tool(指尖工具)時

　　按住Alt鍵可由純粹涂抹變成用前景色涂抹。

　　11、要移動使用Type Mask Tool(文字蒙版工具)打出的字形選取范圍

　　可先切換成快速蒙版模式（用快捷鍵Q切換），然后再進行移動，完成后只要再切換回標準模式即可。

　　12、按住Alt鍵后，使用Rubber Stamp Tool(橡皮圖章工具)在任意打開的圖像視窗內單擊鼠標，即可在該視窗內設定取樣位置，但不會改變作用視窗。

　　13、在使用Move Tool(移動工具)時

　　可按鍵盤上的方向鍵直接以1 pixel的距離移動圖層上的圖像，如果先按住Shift鍵后再按方向鍵則以每次10 pixel的距離移動圖像。 而按Alt鍵拖動選區將會移動選區的拷貝。

　　14、使用磁性套索工具或磁性鋼筆工具

　　按“[”或“]”鍵可以實時增加或減少采樣寬度(選項調板中)。

　　15、度量工具在測量距離上十分便利(特別是在斜線上)

　　你同樣可以用它來量角度(就像一只量角器)。在信息面板可視的前提下，選擇度量工具點擊并拖出一條直線，按住Alt鍵從第一條線的節點上再拖出第二條直線，這樣兩條線間的夾角和線的長度都顯示在信息面板上。用測量工具拖動可以移動測量線(也可以只單獨移動測量線的一個節點)，把測量線拖到畫布以外就可以把它刪除。

　　16、使用繪畫工具如(如畫筆，向筆等)

　　按住Shift鍵單擊鼠標，可將兩次單擊點以直線連接。

　　17、按住Alt鍵用吸管工具選取顏色即可定義當前背景色。

　　通過結合顏色取樣器工具(Shift+I)和信息面板**當前圖片的顏色變化。變化前后的顏色值顯示在信息面板上其取樣點編號的旁邊。通過信息面板上的彈出菜單可以定義取樣點的色彩模式。要增加新取樣點只需在畫布上用顏色取樣器工具隨便什么地方再點一下，按住Alt鍵點擊可以除去取樣點。但一張圖上最多只能放置四個顏色取樣點。當Photoshop中有對話框(例如：色階命令、曲線命令等等)彈出時，要增加新的取樣點必須按住Shift鍵再點擊，按住Alt+Shift點擊可以減去一個取樣點。

　　18、裁切工具大家都一定用過，這種情況你也一定遇到過；在你調整裁切握、而裁切框又比較接近圖像邊界的時候，裁減框會自動地貼到圖像的邊上，令你無法精確的裁切圖像。不過只要在調整裁切邊框的'時候接下“Ctrl”鍵，那么裁切框就會服服帖帖，讓你精確裁切。

　　復制技巧

　　19、按住Ctrl+Alt鍵拖動鼠標可以復制當前層或選區內容。

　　20、如果你最近拷貝了一張圖片存在剪貼板里，Photoshop在新建文件(Ctrl+N)的時候會以剪貼板中圖片的尺寸作為新建圖的默認大小。要略過這個特性而使用上一次的設置，在打開的時候按住Alt鍵(Ctrl+Alt+N)。

　　21、如果創作一幅新作品，需要與一幅已打開的圖片有一樣的尺寸、解析度、格式的文件。選取“文件”→“New”，點Photoshop菜單欄的Windows選項，在彈出菜單的最下面一欄點擊已開啟的圖片名稱，是的，就是這么簡單!

　　22、在使用**變換工具(Ctrl+T)時按住Alt鍵(Ctrl+Alt+T)即可先復制原圖層(在當前的選區)后在復制層上進行變換；Ctrl+Shift+T為再次執行上次的變換，Ctrl+Alt+Shift+T為復制原圖后再執行變換。

　　23、使用“通過復制新建層(Ctrl+J)”或“通過剪切新建層(Ctrl+J)”命令可以在一步之間完成拷貝到粘貼和剪切到粘貼的工作；通過復制(剪切)新建層命令粘貼時仍會放在它們原來的地方，然而通過拷貝(剪切)再粘貼，就會貼到圖片(或選區)的中心。

　　24、若要直接復制圖像而不希望出現命名對話框，可先按住Alt鍵，再執行“圖像”→“副本”命令。

　　25、Photoshop的剪貼板很好用，但你更希望直接使用Windows系統剪貼板，直接處理從屏幕上截取的圖像。好的，按下Ctrl＋K，在彈出的面板**“輸出到剪貼板”點中吧！

　　26、在Photoshop內實現有規律復制

　　在做版面設計的時候我們會經常把某些元素有規律地擺放以尋求一種形式的美感，在Photoshop內通過四個快捷鍵的組合就可以輕易得出。

　　(1)圈選出你要復制的物體；

　　(2)按Ctrl+J產生一個浮動 Layer；

　　(3)按旋轉并移動到適當位置后確認；

　　(4)現在可以按住Ctrl+Alt+Shift 后連續按“T”就可以有規律地復制出連續的物體。(只按住Ctrl+Shift則只是有規律移動)

　　27、當我們要復制文件中的選擇對象時，要使用編輯菜單中的復制命令。復制一次你也許覺不出麻煩，但要多次復制，一次一次的點擊就相當不便了。這時你可以先用選擇工具選定對象，而后點擊移動工具，再按住“Alt”鍵不放。當光標變成一黑一白重疊在一起的兩個箭頭時，拖動鼠標到所需位置即可。若要多次復制，只要重復的放松鼠標就行了。

　　28、可以用選框工具或套索工具，把選區從一個文檔拖到另一個上。

　　29、要為當前歷史狀態或快照建立一個復制文檔可以：

　　(1)點擊“從當前狀態創建新文檔”按鈕；

　　(2)從歷史面板菜單中選擇新文檔；

　　(3)拖動當前狀態(或快照)到“從當前狀態創建新文檔”按鈕上；

　　(4)右鍵點擊所要的狀態(或快照)從彈出菜單中選擇新文檔把歷史狀態中當前圖片的某一歷史狀態拖到另一個圖片的窗口可改變目的圖片的內容。按住Alt鍵點擊任一歷史狀態(除了當前的、最近的狀態)可以復制它。而后被復制的狀態就變為當前(最近的)狀態。按住Alt拖動動作中的步驟可以把它復制到另一個動作中。

　　選擇技巧

　　30、把選擇區域或層從一個文檔拖向另一個時，按住Shift鍵可以使其在目的文檔上居中。如果源文檔和目的文檔的大小(尺寸)相同，被拖動的元素會被放置在與源文檔位置相同的地方(而不是放在畫布的中心)。如果目的文檔包含選區，所拖動的元素會被放置在選區的中心。

　　31、在動作調板中單擊右上角的三角形按鈕，從彈出的菜單中選擇載入動作，進入PhotoshopGoodiesActions目錄下，其下有按鈕、規格、命令、圖像效果，文字效果、紋理、幀六個動作集，包含了很多實用的東西喲!另外，在該目錄下還有一個ACTIONS.PDF文件，可用Adobe Acrobat軟件打開，里面詳細介紹了這些動作的使用方法和產生的效果。

　　32、單擊工具條中的畫筆類工具，在隨后顯示的屬性條中單擊畫筆標簽右邊的小三角，在彈出的菜單中再點擊小箭頭選擇“載入畫筆…”。到Photoshop目錄的Brushes文件夾中選擇*.abr。原來這里還有這么多可愛的東西。

　　33、畫出一個漂亮的標記，想在作品中重復使用？好辦，用套索工具選好它，在Brushes的彈出菜單中選“儲存畫筆…”，然后用畫筆工具選中這個新筆頭……朋友，想做居室噴涂嗎?

　　34、如果想選擇兩個選擇區域之間的部分，在已有的任意一個選擇區域的旁邊同時按住Shift和Alt鍵進行拖動，畫第二個選擇區域(鼠標十字形旁出現一個乘號，表示重合的該區域將被保留)。

　　35、在選擇區域中刪除正方形或圓形，首先增加任意一個選擇區域，然后在該選擇區域內，按Alt鍵拖動矩形或橢圓的面罩工具。然后松開Alt鍵，按住Shift鍵，拖動到你滿意為止。然后先松開鼠標按鈕再松開Shift鍵。

　　36、從中心向外刪除一個選擇區域，在任意一個選擇區域內，先按Alt鍵拖動矩形或橢圓的面罩工具，然后松開Alt鍵后再一次按住Alt鍵，最后松開鼠標按鈕再松開Alt鍵。

　　37、在快速蒙版模式下要迅速切換蒙版區域或選取區域選項時，先按住Alt鍵后將光標移到快速遮色片模式圖標上單擊鼠標就可以了。

　　38、使用選框工具的時候，按住Shift鍵可以劃出正方形和正圓的選區；按住Alt鍵將從起始點為中心勾劃選區。

　　39、使用“重新選擇”命令(Ctrl+Shift+D)來載入/恢復之前的選區。

　　40、在使用套索工具勾畫選區的時候按Alt鍵可以在套索工具和多邊形套索工具間切換。勾畫選區的時候按住空格鍵可以移動正在勾畫的選區。

　　41、按住Ctrl鍵點擊層的圖標(在層面板上)可載入它的透明通道，再按住Ctrl+Alt+Shift鍵點擊另一層為選取兩個層的透明通道相交的區域。

　　42、在縮放或復制圖片之間先切換到快速蒙板模式[Q]可保留原來的選區。

　　43、“選擇框”工具中Shift和Alt鍵的使用方法：

　　當用“選擇框”選取圖片時，想擴大選擇區，這時按住Shift鍵，光標“+”會變成“十+”，拖動光標，這樣就可以再原來選取的基礎上擴大你所需的選擇區域。或是在同一副圖片中同時選取兩個或兩個 以上的選取框。

　　當用“選擇框”選取圖片時，想在“選擇框”中減去多余的圖片，這時按住“Alt”鍵，光標“+”會變成“十-”，拖動光標，這樣就可以留下你所需要的圖片。

　　當用“選擇框”選取圖片時，想得到兩個選取框疊加的部分，這時按住“Shift+Alt”鍵，光標“+”會變成“十í”，拖動光標，這樣就你想要的部分。

　　想得到“選取框”中的正圓或正方形時，按住“Shift”鍵，就可以。

　　44、“套索”工具中Shift和Alt鍵的使用方法：

　　增加選取范圍按“Shift”鍵。(方法和“選擇框”中的1相同)

　　減少選取范圍按“Alt”鍵。(方法和“選擇框”中的2相同)

　　兩個選取框疊加的區域按“Shift+Alt”鍵。(方法和“選擇框”中的3相同)

　　45、“魔杖”工具中Shift和Alt鍵的使用方法：

　　增加選取范圍按“Shift”鍵。(方法和“選擇框”中的1相同)

　　減少選取范圍按“Alt”鍵。(方法和“選擇框”中的2相同)

　　兩個選取框疊加的區域按“Shift+Alt”鍵。(方法和“選擇框”中的3相同)

　　快捷鍵技巧

　　46、你可以用以下的快捷鍵來快速瀏覽你的圖像：

　　Home卷動至圖像的左上角；End卷動至圖像的右下角；Page UP卷動至圖像的上方；Page Down卷動至圖像的下方；Ctrl＋Page Up卷動至圖像的左方；Ctrl＋Page Down卷動至圖像的右方。

　　47、按Ctrl鍵+Alt鍵+0鍵即可使圖像按1:1比例顯示。

　　48、當你想“緊排”(調整個別字母之間的空位)，首先在兩個字母之間單擊，然后按下Alt鍵后用左右方向鍵調整。

　　49、將對話框內的設定恢復為默認，先按住Alt鍵后，Cancel鍵會變成Reset鍵，再單擊Reset鍵即可。

　　50、要快速改變在對話框中顯示的數值，首先用鼠標點擊那個數字，讓光標處在對話框中，然后就可以用上下方向鍵來改變該數植了。如果在用方向鍵改變數值前先按下Shift鍵，那么數值的改變速度會加快。

　　Photoshop快速把夏天打造成秋天

　　象這種秋景的制作的示例，PS中也有不少了，今天我來發個秋景的另一種制作方法。大家一起來研究研究。

　　先看一下原圖：

　　1.首先打開要進行編輯的圖象，把圖象的色彩模式改成Lab顏色。（圖象-模式-Lab顏色）。

　　圖一

　　2.在把背靜層復制一份后（CTRL+J），在選中背靜層副本用應用圖象命令對其做以下設置（圖象-應用圖象）設置為：

　　圖層：合并圖層；通道：b ；混合：疊加 ＇不透明度：100（如圖一）。

　　3.在在當前層上添加圖層蒙板（圖層—圖層蒙板-顯示全部）（如圖二）。

　　圖二

　　4.在圖層蒙板選中后，再次用應用圖象命令（圖象—應用圖象）對其做以下設置（如圖三）：

　　圖三

　　圖層：背靜 ；通道：b ；混合：正常 ；不透明度：100 。

　　圖四

　　5.作完后在在蒙板中用自動色階命令(Shift+Ctrl+L) （如圖四）。

　　下面看看最終效果吧~~~~

橢圓二重積分極坐標（精選一篇）（擴展2）

——二重積分的導數(精選1篇)

　　二重積分的導數 1

　　矩形區域上的二重積分：設 f(x,y) 在矩形區域 R: a

　　直角坐標：

　　一、積分次序的`選擇：

　　看區域，選擇的積分次序一定要便于定限，說得更具體一點，也就是要盡量避免分類討論;

　　看函數，要盡量使第一步的積分簡單，選擇積分次序的最終目的肯定是希望是積分盡可能地好算一些，實踐表明，大多數時候，只要讓二重積分第一步的積分盡可能簡單，那整個積分過程也會比較簡潔；所以在拿到一個二重積分之后，可以根據它的被積函數考慮一下第一步把哪個變量看成常數更有利于計算，從而確定積分次序。

　　二、定限：完成定限之后，二重積分就被化為了兩次定積分，就可以直接計算。

橢圓二重積分極坐標（精選一篇）（擴展3）

——極坐標方程必背公式(精選一篇)

　　極坐標方程必背公式 1

　　極坐標方程

　　在數學中，極坐標系是一個二維坐標系統。該坐標系統中任意位置可由一個夾角和一段相對原點—極點的距離來表示。極坐標系的'應用領域十分廣泛，包括數學、物理、工程、航海、航空以及機器人領域。

　　兩點間的關系用夾角和距離很容易表示時，極坐標系便顯得尤為有用；而在平面直角坐標系中，這樣的關系就只能使用三角函數來表示。對于很多類型的曲線，極坐標方程是最簡單的表達形式，甚至對于某些曲線來說，只有極坐標方程能夠表示。

橢圓二重積分極坐標（精選一篇）（擴展4）

——橢圓的性質教案(精選4篇)

　　橢圓的性質教案 1

　　【學情分析】：

　　學生對于解析幾何部分“利用方程來解決曲線公共點的問題”有一定的認識，對橢圓的性質比較熟悉的情況下，進一步提高學生的運算水平。

　　【三維目標】：

　　1、知識與技能：

　　①進一步掌握“利用方程組求解來解決曲線公共點”的方法、步驟。

　　②理解求公共點的過程中△對于公共點的個數的影響。

　　③進一步提高學生的運算能力，培養學生的總結能力。

　　2、過程與方法：

　　通過學生研究直線與橢圓的交點問題，掌握“數形結合”的方法。

　　3、情感態度與價值觀：

　　通過“數形結合法”的學習，培養學生辨證看待問題。

　　【教學重點】：

　　知識與技能③

　　【教學難點】：

　　知識與技能①②

　　【課前準備】：

　　課件

　　【教學過程設計】：

　　教學環節

　　教學活動

　　設計意圖

　　一、復習、引入

　　1、在平面直角坐標系中，求出直線與的交點坐標。（3,2）

　　2、引入。在平面直角坐標系中，兩條曲線的公共點問題，可以轉化為解方程組問題。今天，我們就重點學習直線與橢圓的公共點問題。

　　1、通過練習由學生回味解析幾何中解決問題的方法。為引入做鋪墊。

　　二、例題、練習

　　1、請畫出一個橢圓和一條直線，你能否講出直線與橢圓有哪幾種位置關系？（沒有公共點——相離；有且只有一個公共點——相切；有兩個公共點——相交）

　　例1、已知橢圓

　　（1）判斷直線與橢圓是否有公共點，若有公共點，請求出公共點的坐標。

　　（2）判斷與橢圓是否有公共點，若有公共點，請求出公共點的坐標。

　　（3）判斷與橢圓是否有公共點，若有公共點，請求出公共點的坐標。

　　分析：聯立橢圓與直線的方程，組成方程組，若方程組有解，則有公共點，方程組的解就是公共點的坐標。注意體會在解方程組過程中，解的個數怎樣判斷？

　　1、通過圖形，先讓學生對直線與橢圓的位置關系有一個直觀上的認識。

　　2、通過例題的三種情況，使學生在求公共點的坐標過程里，體會求解過程的相同之處、不同之處。

　　3、盡可能地讓學生自己發現在求解過程當中△的用法。

　　三、小節

　　本節課主要學習了直線與橢圓的三種位置關系：

　　1、相交

　　2、相切

　　3、相離

　　解析幾何中，求直線與橢圓的公共點問題，可以轉化為求解方程組的問題。若只是判斷有沒有公共點，有多少個公共點，可以不求出公共點的坐標，通過△來判斷。

　　一般情況下，△>0,有兩個公共點；

　　△=0,有且只有一個公共點；

　　△

　　盡可能地引導學生，由學生總結出規律來。

　　四、作業

　　書本P42 8

　　五、補充訓練

　　1求直線與橢圓的焦點坐標。（答略）

　　2、經過橢圓+=1的右焦點做傾斜角為135°的直線，與橢圓相交于A，B兩點，則=

　　3、直線l過點M（1，1），與橢圓+=1相交于A、B兩點，若AB的中點為M，試求直線l的方程.

　　（）

　　4、斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A、B兩點，則|AB|的最大值為( B )

　　A . 2B.

　　C. D.

　　5、已知(4， 2)是直線l被橢圓＝1所截得的線段的中點，則l的方程是_____

　　6、，為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于兩點P、Q，且，求橢圓的離心率。

　　（）

　　提高學生解決綜合題目的能力。

　　橢圓的性質教案 2

　　【學情分析】：

　　學生已經掌握了橢圓的概念、標準方程的概念，也能夠運用標準方程中的a,b,c的關系解決題目，但還不夠熟練。另外對于求軌跡方程、解決直線與橢圓關系的題目，還不能很好地分析、解決。

　　【三維目標】：

　　1、知識與技能：

　　①進一步強化學生對于橢圓標準方程中a,b,c關系理解，并能運用到解題當中去。

　　②強化求軌跡方程的方法、步驟。

　　③解決直線與橢圓的題目，強化數形結合的運用。

　　2、過程與方法：

　　通過習題、例題的練講結合，達到學生熟練解決橢圓有關問題的能力。

　　3、情感態度與價值觀：

　　通過一部分有難度的題目，培養學生克服困難的毅力。

　　【教學重點】：

　　知識與技能②③

　　【教學難點】：

　　知識與技能②③

　　【課前準備】：

　　學案

　　【教學過程設計】：

　　教學環節

　　教學活動

　　設計意圖

　　一、復習、引入

　　1、請講出橢圓的標準方程？并講出a,b,c之間的關系？

　　2、怎樣來求動點的軌跡方程，具體的步驟有哪些？

　　3、直線與橢圓的關系有哪些種？

　　突出本節要復習的內容

　　二、例題、練習

　　一、橢圓的標準方程及a,b,c之間的關系

　　1、方程表示焦點在y軸上的橢圓，則k的取值范圍是

　　2、、焦點坐標為（0，-4）、（0，4），a=5的橢圓的標準方程

　　為

　　3、動點M到兩個定點A（0，-）、B（0，）的距離的和是，則動點M的軌跡方程是

　　4、經過點A（-2，0），B（—1，—）兩點的橢圓的標準方程.

　　二、求動點的軌跡方程。（重視步驟）

　　1、點M（x,y）與定點F（4，0）的距離和它到直線L：的距離的比是常數，求點M的軌跡方程，并說明它是什么曲線？。（）

　　2、若P(-3,0)是圓x+y-6x-55=0內一定點，動圓M與

　　已知圓相內切且過P點，求動圓圓心M的軌跡方程。()

　　三、直線與橢圓的關系。（數形結合，關注過程）

　　1、k為何止時，直線和曲線有兩個公共點？一個公共點？沒有公共點？

　　分析：利用聯立方程組，再利用△進行判斷。

　　*2、已知橢圓，直線L：，橢圓上是否存在一點，它到直線L的距離最小？，最小距離是多少？（）

　　利用三組題目，復習相關的三個知識點。

　　第一組：先練后評

　　第二組：先引導分析再做，后評；

　　第三組：與前一節例題呼應，先經過分析，在引導學生寫出過程。

　　目的：1、使學生在做題的過程中，復習橢圓的相關知識。

　　2、強化學生對后兩大類題型步驟的掌握。

　　三、小結

　　本節課對于前面幾節課講過的知識，進行了一次復習。橢圓是高考中常考的知識點，需要同學們對橢圓相關知識足夠的熟悉，過程步驟清楚，做題速度足夠的快、準確。

　　四、作業

　　1、若方程表示的曲線是橢圓，則k的取

　　值范圍是

　　2、與橢圓共焦點，且過點（3，-2）的橢圓

　　方程是

　　3、若C、D是以F1、F2為焦點的橢圓上的

　　兩點， CD過點F1，則△F2CD的長 20

　　4、已知(4，2)是直線l被橢圓＝1所截得的線段的中點，則l的方程是_____

　　5、一動圓與圓外切，同時與圓內切，求動圓圓心的軌跡方

　　程，并說明它是什么曲線？()

　　6、直線l過點M（1，1），與橢圓+=1相交于A、B兩點，若AB的中點為M，試求直線l的方程. （3x+4y－7=0）

　　橢圓的性質教案 3

　　2.1.2橢圓的簡單幾何性質

　　目標：

　　(1)通過對橢圓標準方程的討論，使學生掌握橢圓的幾何性質，并正確地畫出它的圖形；領會每一個幾何性質的內涵，并學會運用它們解決一些簡單問題。

　　（2）培養學生觀察、分析、抽象、概括的邏輯思維能力；運用數形結合思想解決實際問題的能力。

　　重點：橢圓的簡單幾何性質及其探究過程。

　　教學難點：利用曲線方程研究曲線幾何性質的基本方法和離心率是用來刻畫橢的扁平程度的給出過程

　　教學過程：

　　一、復習引入：

　　1．橢圓定義：在平面內，到兩定點距離之和等于定長（定長大于兩定點間的距離）的動點的軌跡

　　2．標準方程： ， （ ）

　　二、新課講解：

　　1．范圍：

　　由標準方程知，橢圓上點的坐標 滿足不等式 ，

　　說明橢圓位于直線 ， 所圍成的矩形里.

　　2．對稱性：

　　在曲線方程里，若以 代替 方程不變，所以若點 在曲線上時，點 也在曲線上，所以曲線關于 軸對稱，同理，以 代替 方程不變，則曲線關于 軸對稱。若同時以 代替 ， 代替 方程也不變，則曲線關于原點對稱.

　　所以，橢圓關于 軸、 軸和原點對稱.這時，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心.

　　3．頂點：

　　確定曲線在坐標系中的位置，常需要求出曲線與 軸、 軸的交點坐標.

　　在橢圓的標準方程中，令 ，得 ，則 ， 是橢圓與 軸的兩個交點。同理令 得 ，即 ， 是橢圓與 軸的兩個交點.

　　所以，橢圓與坐標軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點.

　　同時，線段 、 分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為 和 ， 和 分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長.

　　由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點到焦點的距離為 ；在 中， ， ， ，且 ，即 ．

　　4．離心率：

　　橢圓的焦距與長軸的比 叫橢圓的離心率.

　　∵ ，∴ ，且 越接近 ， 就越接近 ，從而 就越小，對應的橢圓越扁；反之， 越接近于 ， 就越接近于 ，從而 越接近于 ，這時橢圓越接近于圓。

　　當且僅當 時， ，兩焦點重合，圖形變為圓，方程為 ．

　　5.填寫下列表格：

　　方程

　　圖像

　　a、b、c

　　焦點

　　范圍

　　對稱性橢圓關于y軸、x軸和原點都對稱

　　頂點

　　長、短軸長長軸: A1A2 長軸長 短軸：B1B2短軸長

　　離心率

　　例1．求橢圓 的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標．

　　解：把已知方程化為標準方程 ， ， ，

　　∴橢圓長軸和短軸長分別為 和 ，離心率，

　　焦點坐標 ， ，頂點 ， ， ， ．

　　例2．過適合下列條件的橢圓的標準方程：

　　（1）經過點 、 ；

　　（2）長軸長等于 ，離心率等于 ．

　　解：（1）由題意， ， ，又∵長軸在 軸上，

　　所以，橢圓的標準方程為 ．

　　（2）由已知 ， ，

　　所以，橢圓的標準方程為 或 ．

　　例3.如圖，設 與定點 的距離和它到直線 ： 的距離的比是常數 ，求點 的軌跡方程．

　　分析：若設點 ，則 ，到直線 ： 的距離 ，則容易得點 的軌跡方程．

　　作業：P47第4、5題

　　空間向量及其運算

　　空間向量及其運算

　　●考試目標 主詞填空

　　1.空間向量基本定理及應用

　　空間向量基本定理：如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p存在惟一的有序實數組x、y、z,使p=x a+ y b+ z c.

　　2.向量的直角坐標運算：

　　設a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3),

　　A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2).

　　則a+b= .

　　a-b= .

　　ab= .

　　若a、b為兩非零向量，則a⊥b ab=0 =0.

　　●題型示例 點津歸納

　　【例1】已知空間四邊形OABC中，∠AOB=∠BOC=

　　∠AOC,且OA=OB=OC.，N分別是OA，BC的中點，G是

　　N的中點.

　　求證：OG⊥BC.

　　【解前點津】 要證OG⊥BC，只須證明 即可.

　　而要證 ,必須把 、 用一組已知的空間基向量表示.又已知條為∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC，因此可選 為已知的基向量.

　　【規范解答】 連ON由線段中點公式得：

　　又 ,

　　所以 )

　　因為 .

　　且 ，∠AOB=∠AOC.

　　所以 =0,即OG⊥BC.

　　【解后歸納】 本題考查應用平面向量、空間向量和平面幾何知識證線線垂直的能力.

　　【例2】 在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，求：異面直線BA1與AC所成的角.

　　【解前點津】 利用 ，求出向量 與 的夾角〈 , 〉，再根據異面直線BA1，AC所成角的范圍確定異面直線所成角.

　　【規范解答】 因為 ,

　　所以

　　因為AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， 例2圖

　　所以 =0,

　　=-a2.

　　所以 =-a2.

　　又

　　所以〈 〉=120°.

　　所以異面直線BA1與AC所成的角為60°．

　　【解后歸納】 求異面直線所成角的關鍵是求異面直線上兩向量的數量積，而要求兩向量的數量積，必須會把所求向量用空間的一組基向量表示.

　　【例3】 如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分

　　別是BB1、DC的中點.

　　(1)求AE與D1F所成的角；

　　(2)證明AE⊥平面A1D1F.

　　【解前點津】 設已知正方體的棱長為1，且 =e1，

　　=e2， =e3，以e1，e2,e3為坐標向量，建立空間直角坐標系D—xyz,

　　則：(1)A(1，0，0)，E(1，1， )，F(0， ，0)，D1(0，0，1)，

　　所以 =(0,1, ), =(0, ,-1).

　　所以 =(0,1 ),(0, ,-1)=0.

　　所以 ⊥ ，即AE與D1F所成的角為90°．

　　(2)又 =(1,0,0)= ，

　　且 =(1,0,0)(0,1, )=0.

　　所以 AE⊥D1A1，由(1)知AE⊥D1F，且D1A1∩D1F=D1.

　　所以AE⊥平面A1D1F.

　　【解后歸納】本題考查應用空間向量的坐標運算求異面直線所成的角和證線面垂直的方法.

　　【例4】 證明：四面體中連接對棱中點的三條直線交于一點且互相平分(此點稱為四面體的重心).

　　【規范解答】∵E,G分別為AB,AC的中點,

　　∴EG ,同理HF ，∴EG HF .

　　從而四邊形EGFH為平行四邊形，故其對角線EF,

　　GH相交于一點O,且O為它們的中點,連接OP,OQ.

　　只要能證明向量 =- 就可以說明P,O,Q三點共線且O

　　為PQ的中點,事實上, ,而O為GH的中點, 例4圖

　　∴ CD,QH CD,

　　∴= =0.

　　∴ =,∴PQ經過O點,且O為PQ的中點.

　　【解后歸納】本例要證明三條直線相交于一點O,我們采用的方法是先證明兩條直線相交于一點,然后證明 兩向量共線,從而說明P、O、Q三點共線進而說明PQ直線過O點.

　　●對應訓練 分階提升

　　一、基礎夯實

　　1.在下列條中,使與A、B、C一定共面的是( )

　　A. B.

　　C. D.

　　2.與向量a=(12,5)平行的單位向量是( )

　　A. B.

　　C. D.

　　3.若向量｛a， b，c｝是空間的一個基底，向量m＝a+b，n＝a-b，那么可以與m、n構成空間另一個基底的向量是( )?

　　A.a B.b ? C. c D.2a?

　　4. a、b是非零向量，則〈a，b〉的范圍是 ( )?

　　A.(0， ) B.［0， ］? C.(0，π)? D.［0，π］?

　　5.若a與b是垂直的，則ab的值是( )?

　　A.大于0 B.等于零? ?C.小于0 D.不能確定

　　6.向量a＝(1，2，-2)，b＝(-2，-4，4)，則a與b( )

　　A.相交 B.垂直? C.平行 ?D.以上都不對

　　7. A(1，1，-2)、B(1，1，1)，則線段AB的長度是( )?

　　?A.1 ?B.2 ? C.3 ?D.4

　　8. m＝｛8，3，a｝，n＝｛2b,6,5｝，若m∥n，則a+b的值為( )

　　?A.0 ? B. C. D.8

　　9. a＝｛1,5,-2｝，b＝｛m,2,m+2｝，若a⊥b，則m的值為( )?

　　?A.0 ?B.6 ?C.-6 ?D.±6

　　10. A(2，-4，-1)，B(-1，5，1)，C(3，-4，1)，令a＝ ，b＝ ，則a+b對應的點為( )

　　?A.(5，-9，2) B.(-5，9，-2) ?C.(5，9，-2) D.(5，-9，2)

　　11. a＝(2，-2，-3)，b＝(2,0,4)，則a與b的夾角為( )

　　?A.arc cos ? B. ? C. D.90°

　　12.若非零向量a＝｛x1，y1，z1｝，b＝｛x2，y２，z2｝,則 是a與b同向或反向的( )

　　?A.充分不必要條 B.必要非充分條?

　　?C.充要條 D.不充分不必要條

　　二、思維激活

　　13.已知向量a, b, c滿足a+b+c=0,a=3, b=1, c=4.則ab+bc+ca= .?

　　14.已知a＝2 ，b＝ ，ab＝- ，則a、b所夾的角為 .

　　15.已知空間三點A、B、C坐標分別為(0，0，2)，(2，2，0)，(-2，-4，-2)，點P在xOy平面上且PA⊥AB，PA⊥AC，則P點坐標為 .

　　16.已知a＝｛8,-1,4｝，b＝｛2,2,1｝，則以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積為 .

　　三、能力提高

　　17.已知線段AB在平面α內，線段AC⊥α，線段BD⊥AB，且與α所成的角是30°，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D之間的距離.

　　18.長方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為AB、B1C1中點，若AB＝BC＝2，AA1＝4，試用向量法求：

　　(1) 的夾角的大小.

　　(2)直線A1E與FC所夾角的大小.

　　19.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為BB1、DC的中點，求證：D1F⊥平面ADE.

　　20.如圖所示,已知 ABCD,O是平面AC外的一點, ,求證:A1,B1,C1,D1四點共面.

　　空間向量及其運算習題解答

　　1.C 由向量共線定義知.?

　　2.C 設此向量為(x,y),∴ ，?∴

　　3.C

　　4.D 根據兩向量所成的角的定義知選D.

　　5. B 當a⊥b時，ab=0(cos 〈a, b〉=0)?

　　6.C a=(1,2,-2)=- b ∴a∥b.

　　7.C AB= =3.?

　　8.C ∵m∥n,故(8,3,a)=k(2b,6,5)，?∴8=2bk,3=6k,a=5k，?

　　∴k= 故a= ,b=8,∴a+b= +8=

　　9.B ∵a⊥b ∴1m+52-2(m+2)=0. ∴m=6.

　　10.B =(-1,0,-2), =(-4,9,0)，∴a+b=(-5,9,-2).

　　11.C cos(ab)= =- .

　　12.A?若 ，則a與b同向或反向，反之不成立.

　　13.-13 ∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,?

　　∴ab+bc+ca=- (a2+b2+c2)=- (9+1+16)=-13.

　　14. ?cos〈a, b〉= .∴a,b所夾的角為 .

　　15.(-8,6,0) 由向量的數量的積求得.

　　16.9 S=absin〈a, b〉求得.

　　17.如圖，由AC⊥α，知AC⊥AB.?

　　過D作DD′⊥α，D′為垂足，則∠DBD′＝30°，

　　〈 〉＝１２０°，

　　∴CD2=

　　＝b2+a2+b2+2b2cos120°＝a2+b2.

　　∴CD＝

　　點評：本題把線段轉化成向量表示，然后利用向量進行運算.

　　18.如圖，建立空間坐標系，則D(0，0，0)、A(2，0，0)，B(2，2，0)

　　、C(0，2，0)、A1(2，0，4)、B1(2，2，4)、C1(0，2，4).

　　由題設可知E(2，1，0)，F(1，2，4).

　　(1)令 的夾角為θ，?

　　則cosθ＝ .

　　∴ 的夾角為π-arccos .

　　(2)∴直線A1E與FC的夾角為arccos

　　19.如圖所示，不妨設正方體的棱長為1，且設 ＝i， ＝j， ＝k，

　　以i、j、k的坐標向量建立空間直角坐標系D—xyz，

　　則 ＝（－１，0，０）， ＝(0, ,-1)，?

　　 ＝(-1，0，0)(0， ，-1)＝0，∴AD⊥D1F.

　　又 ＝(0，1， )， ＝(0， ，-1)，

　　∴ ＝(0，1， )(0， ，-1)＝ - ＝0.

　　∴AE⊥D1F，又AE∩AD＝A， ∴D1F⊥平面ADE.

　　點評：利用向量法解決立體幾何問題，首先必須建立適當的坐標系.

　　20.證明：∵

　　=2

　　∴A1,B1,C1,D1四點共面.

　　正切函數的定義

　　泗縣三中教案、學案：正切函數的定義、圖像與性質

　　年級高一學科數學課題正切函數的定義、圖像與性質

　　授課時間撰寫人

　　學習重點掌握正切函數的圖像與性質

　　學習難點利用數形結合思想分析問題、解決問題的技能

　　學 習 目 標

　　（1）了解任意角的正切函數概念；

　　（2）掌握正切線的畫法；

　　（3）能熟練掌握正切函數的圖像與性質；

　　（4）掌握利用數形結合思想分析問題、解決問題的技能。

　　教 學 過 程

　　一 自 主 學 習

　　1.對于正切函數

　　（1）定義域： ，

　　（2）值域：

　　觀察：當 從小于 ， 時，

　　當 從大于 ， 時， 。

　　（3）周期性：

　　（4）奇偶性：

　　（5）單調性：

　　2．作 ， 的圖象

　　二 師 生 互動

　　例1．比較 與 的大小

　　例2．討論函數 的性質

　　例3. 觀察正切曲線寫出滿足下列條件的x的值的范圍：tanx＞0

　　三 鞏 固 練 習

　　1．與函數 的圖象不相交的一條直線是（ ）

　　2．函數 的定義域是

　　3．函數 的值域是

　　4．函數 的奇偶性是 ，周期是

　　5. 求函數 的定義域、值域，指出它的周期性、奇偶性、單調性，并說明它的圖象可以由正切曲線如何變換得到。

　　四 課 后 反 思

　　五 課 后 鞏 固 練 習

　　1.以下函數中，不是奇函數的是( )

　　A.y＝sinx＋tanx Ｂ．y＝xtanx－1 Ｃ．y＝ Ｄ．y＝lg

　　2.下列命題中正確的是( )

　　A．y＝cosx在第二象限是減函數 Ｂ．y＝tanx在定義域內是增函數

　　Ｃ．y＝｜cos（2x＋ ）｜的周期是 Ｄ．y＝sin｜x｜是周期為2π的偶函數

　　3. 用圖象求函數 的定義域。

　　4.不通過求值，比較tan135°與tan138°的大小

　　演繹推理學案

　　第5課時

　　2.1.1演繹推理（二）

　　學習目標

　　正確區分合情推理和演繹推理知道它們的聯系和區別，加深對演繹推理的理解和運用。

　　學習過程

　　一、學前準備

　　1．

　　二、新課導學

　　探究新知（預習教材P30～P33，找出疑惑之處）

　　問題1：“三段論”可以用符號語言表示為

　　（1）大前提：_____________________；

　　（2）小前提：_____________________；

　　（3）結 論：_____________________。

　　注意：在實際證明過程中，為了敘述簡潔，如果大前提是顯然，則可以省略。

　　2、思考并回答下面問題：

　　因為所有邊長都相等的凸多邊形是正方形，………………………………大前提

　　而菱形是所有邊長都相等的凸多邊形，……………………………………小前提

　　所以菱形是正方形。…………………結 論

　　（1）上面的推理正確嗎？

　　（2）推理的結論正確嗎？為什么？

　　（3）這個問題說明了什么？

　　結論：上述推理的形式正確，但大前提是錯誤的，所以所得的結論是錯誤的。

　　總結：

　　應用示例

　　例1．證明函數 在 內是增函數。

　　解：

　　反饋練習

　　1． 演繹推理是以下列哪個為前提，推出某個特殊情況下的結論的推理方法 （ ）.

　　A．一般的原理原則； B．特定的命題；

　　C．一般的命題； D．定理、公式.

　　2.若函數 是奇函數，求證 。

　　三、總結提升www.

　　本節小結

　　1．本節學習了哪些內容？

　　答：

　　學習評價

　　一、自我評價

　　你完成本節導學案的情況為（ ）

　　A．很好 B．較好 C． 一般 D．較差

　　二、當堂檢測

　　1．下列表述正確的是（ ）。

　　（1）歸納推理是由部分到整體的推理；

　　（2）歸納推理是由一般到一般的推理；

　　（3）演繹推理是由一般到特殊的推理；

　　（4）類比推理是由特殊到一般的推理；

　　（5）類比推理是由特殊到特殊的推理。

　　A、（1）（2）（3） B、（2）（3）（4）

　　C、（2）（4）（5） D、（1）（3）（5）

　　2、下面幾種推理過程是演繹推理的是（ ）。

　　A、兩條直線平行，同旁內角互補，如果 和 是兩條平行線的同旁內角，則 ；

　　B、由平面三角形的性質，推測空間四面體的性質；

　　C、某高校共有10個班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測各班都超過50人；

　　D、在數列 中， ， ，由此歸納出 的通項公式。

　　3、課本 練習3。www.

　　凸多面體面數（F）頂點數(V)棱數(E)

　　三棱柱569

　　長方形6812

　　五棱柱71015

　　三棱錐446

　　四棱錐558

　　五棱錐6610

　　課后作業

　　1．設m是實數，求證方程 有兩個相異的實數根。

　　2. 用三段論證明：三角形內角和等于 180°.

　　直線的參數方程學案

　　第06時

　　2、2、3 直線的參數方程

　　學習目標

　　1．了解直線參數方程的條及參數的意義；

　　2. 初步掌握運用參數方程解決問題，體會用參數方程解題的簡便性。

　　學習過程

　　一、學前準備

　　復習：

　　1、若由 共線，則存在實數 ，使得 ，

　　2、設 為 方向上的 ，則 =? ? ；

　　3、經過點 ，傾斜角為 的直線的普通方程為 。

　　二、新導學

　　探究新知（預習教材P35～P39，找出疑惑之處）

　　1、選擇怎樣的參數，才能使直線**一點的坐標 與點 的坐標 和傾斜角 聯系起呢？由于傾斜角可以與方向聯系， 與 可以用距離或線段 數量的大小聯系，這種“方向”“有向線段數量大小”啟發我們想到利用向量工具建立直線的參數方程。

　　如圖，在直線**取一點 ，則 = ，

　　而直線

　　的單位方向

　　向量

　　因為 ，所以存在實數 ，使得 = ，即有 ，因此，經過點

　　，傾斜角為 的直線的參數方程為：

　　2.方程中參數的幾何意義是什么？

　　應用示例

　　例1．已知直線 與拋物線 交于A、B兩點，求線段AB的長和點 到A ，B兩點的距離之積。（教材P36例1）

　　解：

　　例2．經過點 作直線 ，交橢圓 于 兩點，如果點 恰好為線段 的中點，求直線 的方程.（教材P37例2）

　　解：

　　反饋練習

　　1.直線 上兩點A ，B對應的參數值為 ，則 =( )

　　A、0 B、

　　C、4 D、2

　　2.設直線 經過點 ，傾斜角為 ，

　　（1）求直線 的參數方程；

　　（2）求直線 和直線 的交點到點 的距離；

　　（3）求直線 和圓 的兩個交點到點 的距離的和與積。

　　三、總結提升

　　本節小結

　　1．本節學習了哪些內容？

　　答：1.了解直線參數方程的條及參數的意義；

　　2. 初步掌握運用參數方程解決問題，體會用參數方程解題的簡便性。

　　學習評價

　　一、自我評價

　　你完成本節導學案的情況為（ ）

　　A．很好 B．較好 C． 一般 D．較差

　　后作業

　　1． 已知過點 ，斜率為 的直線和拋物線 相交于 兩點，設線段 的中點為 ，求點 的坐標。

　　2.經過點 作直線交雙曲線 于 兩點，如果點 為線段 的中點，求直線 的方程

　　3.過拋物線 的焦點作傾斜角為 的弦AB，求弦AB的長及弦的中點到焦點F的距離。

　　回歸分析的基本思想及其初步應用

　　要求：通過典型案例的探究，進一步了解回歸分析的基本思想、方法及初步應用.

　　重點：了解評價回歸效果的三個統計量：總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和.

　　教學難點：了解評價回歸效果的三個統計量：總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和.

　　教學過程：

　　一、復習準備：

　　1．由例1知，預報變量（體重）的值受解釋變量（身高）或隨機誤差的影響.

　　2．為了刻畫預報變量（體重）的變化在多大程度上與解釋變量（身高）有關？在多大程度上與隨機誤差有關？我們引入了評價回歸效果的三個統計量：總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和.

　　二、講授新課：

　　1. 教學總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和：

　　（1）總偏差平方和：所有單個樣本值與樣本均值差的平方和，即 .

　　殘差平方和：回歸值與樣本值差的平方和，即 .

　　回歸平方和：相應回歸值與樣本均值差的平方和，即 .

　　（2）學習要領：①注意 、 、 的區別；②預報變量的變化程度可以分解為由解釋變量引起的變化程度與殘差變量的變化程度之和，即 ；③當總偏差平方和相對固定時，殘差平方和越小，則回歸平方和越大，此時模型的擬合效果越好；④對于多個不同的模型，我們還可以引入相關指數 來刻畫回歸的效果，它表示解釋變量對預報變量變化的貢獻率. 的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合的效果越好.

　　2. 教學例題：

　　例2 關于 與 有如下數據：

　　2 4 5 6 8

　　30 40 605070

　　為了對 、 兩個變量進行統計分析，現有以下兩種線性模型： ， ，試比較哪一個模型擬合的效果更好.

　　平面直角坐標系與伸縮變換

　　高二數學導學案 主備人: 備時間: 組長簽字 :

　　1.1平面直角坐標系與伸縮變換

　　一、三維目標

　　1、知識與技能：回顧在平面直角坐標系中刻畫點的位置的方法

　　2、能力與與方法：體會坐標系的作用

　　3、情感態度與價值觀：通過觀察、探索、發現的創造性過程，培養創新意識。

　　二、學習重點難點

　　1、重點：體會直角坐標系的作用

　　2、難點：能夠建立適當的直角坐標系,解決數學問題

　　三、學法指導：自主、合作、探究

　　四、知識鏈接

　　問題1：如何刻畫一個幾何圖形的位置？

　　問題2：如何研究曲線與方程間的關系？

　　五、學習過程

　　一．平面直角坐標系的建立

　　某信息中心接到位于正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到一聲巨響，正東觀測點聽到巨響的時間比它們晚了4s。已知各觀測點到中心的距離是1020m，試確定巨響發生的位置（假定聲音傳播的速度是340m/s，各觀測點均在同一平面上）

　　問題1:

　　思考1：問題1：用什么方法描述發生的位置？

　　思考2：怎樣建立直角坐標系才有利于我們解決問題？

　　問題2：還可以怎樣描述點P的位置？

　　B例1.已知△ABC的三邊a,b,c滿足b2+c2=5a2,BE,CF分別為邊AC,CF上的中線，建立適當的平面直角坐標系探究BE與CF的位置關系。

　　探究:你能建立不同的直角坐標系解決這個問題嗎？比較不同的直角坐標系下解決問題的過程，建立直角坐標系應注意什么問題？

　　小結：選擇適當坐標系的一些規則：

　　如果圖形有對稱中心，可以選對稱中心為坐標原點

　　如果圖形有對稱軸，可以選對稱軸為坐標軸

　　使圖形上的特殊點盡可能多地在坐標軸上

　　二.平面直角坐標系中的伸縮變換

　　思考1：怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=sin2x?

　　坐標壓縮變換：

　　設P(x,y)是平面直角坐標系中任意一點，保持縱坐標不變，將橫坐標x縮為原 1/2，得到點P’(x’,y’).坐標對應關系為： 通常把上式叫做平面直角坐標系中的一個壓縮變換。

　　思考2：怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=3sinx?寫出其坐標變換。

　　設P(x,y)是平面直角坐標系中任意一點，保持橫坐標x不變，將縱坐標y伸長為原 3倍，得到點P’(x’,y’).坐標對應關系為： 通常把上式叫做平面直角坐標系中的一個伸長變換。

　　思考3：怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=3sin2x? 寫出其坐標變換。

　　定義：設P(x,y)是平面直角坐標系中任意一點，在變換 的作用下，點P(x,y)對應P’(x’,y’).稱 為平面直角坐標系中的伸縮變換。

　　六、達標檢測

　　A1.求下列點經過伸縮變換 后的點的坐標：

　　（1） （1，2）；

　　（2） （-2，-1）

　　A2．點 經過伸縮變換 后的點的坐標是（-2，6），則 ， ；

　　A3．將點（2，3）變成點（3，2）的伸縮變換是（ ）

　　A. B. C. D.

　　A4．將直線 變成直線 的伸縮變換是 .

　　B5．為了得到函數 的圖像，只需將函數 的圖像上所有的點（ ）

　　A.向左平移 個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原的 倍（縱坐標不變）

　　B.向右平移 個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原的 倍（縱坐標不變）

　　C.向左平移 個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原的3倍（縱坐標不變）

　　D.向右平移 個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原的3倍（縱坐標不變）

　　B6.在平面直角坐標系中，求下列方程所對應的圖形經過伸縮變換 后的圖形：

　　（1） ；

　　B8.教材P8 習題1.1 第4，5,6

　　橢圓的性質教案 4

　　教學內容解析

　　“橢圓的簡單幾何性質”是人教A版《普通高中課程標準實驗教科書·數學》（選修2—1）中的第二章第二節第一課時的內容。解析幾何是高中數學重要的分支，是在直角坐標系的基礎上，利用代數方法解決幾何問題的一門學科。

　　本課是在學生學習了曲線與方程、橢圓的定義和標準方程的基礎上，根據方程研究橢圓的幾何性質。橢圓是生活中常見的曲線，研究它的幾何性質，對于后續學習圓錐曲線有重要的指導作用，也為研究雙曲線和拋物線奠定了基礎。解析幾何的意義主要表現在數形結合的思想上。研究橢圓幾何性質的過程中，幾何直觀觀察與代數嚴格推導互相結合，處處是形與數之間的對照//翻譯和互相轉換，這也正是辯證法的反映。

　　方程研究曲線性質，即用代數方法解決幾何問題，將對復雜的幾何關系的研究轉化為對曲線方程特點的分析，代數方法可以程序化地進行運算，代數法研究曲線的性質有較強的規律性， 這也正是創立解析幾何的最直接目的。

　　教學重點：

　　橢圓的簡單幾何性質；用方程研究橢圓上點的橫縱坐標范圍及對稱性。

　　教學目標設置

　　（1）學生通過先對給定具體橢圓方程研究，然后對一般橢圓標準方程的共同探究，使其對給定標準方程的橢圓，能說出其范圍、對稱性//頂點坐標和離心率等性質；

　　（2）通過方程和圖形的轉化與認識，感受橢圓性質的幾何意義，能夠清晰解釋橢圓標準方程中a，b，c，e的幾何意義及其相互關系；

　　（3）通過解析法研究對橢圓性質的運用，使學生感受用代數方法研究幾何問題的思想，能初步運用方程研究相應曲線的簡單幾何性質。

　　學生學情分析

　　學生已有認知基礎：學生學習了曲線與方程，已熟悉和掌握橢圓定義及其標準方程，學生有動手體驗和探究的興趣，有一定的觀察分析和邏輯推理的能力；學生用函數圖像研究過相應函數的性質，有用方程求直線和圓的特殊點的經歷。

　　達成目標所需認知基礎：解析法的數形結合思想和解析法的步驟；利用方程形式特點，推導相應曲線的性質。

　　教學難點及突破策略

　　1.本節課的教學難點

　　（1）用方程研究橢圓的范圍和對稱性；

　　（2）離心率的引入。

　　2.突破策略

　　（1）用方程研究橢圓的范圍時，教師引導學生注意觀察方程形式特點，學生**思考與小組合作相結合；

　　（2）研究對稱性時，教師引導學生注意觀察方程形式特點，并回歸圖形對稱的定義；

　　（3）離心率引入時，設置明確而開放的問題，引發學生思考，結合幾何畫板動態演示。

　　教學策略分析

　　1.為了充分調動學生學習數學的積極性，促進學生主動思考，采用問題串引導探究式法，活動和探究相結合，以問題作先行者，誘發學生積極思考；

　　2.利用現代教育**，關注教學內容與現代教育**的合時及合理整合。學生實物投影展示和板演相結合，利用幾何畫板軟件感受動態過程，提高課堂效益；

　　3.在研究范圍和離心率時，學生自主探究與合作討論相結合突破重、難點。

　　教學過程

　　1．回顧引入

　　（1）知識回顧。

　　【設計意圖】

　　（1）讓學生在作曲線的時候，通過動手能發現橢圓上點的坐標取值有范圍限制，即橢圓的范圍；發現橢圓具有對稱性，從而為引出對稱性作鋪墊；發現特殊點（與對稱軸的交點），即橢圓的頂點。

　　（2）學生聯系到函數描點法作圖時，認識到函數和方程的區別與聯系，有利于學生更好地理解數學知識間的關系，但此處不作為教學重點。

　　該橢圓關于x軸和y軸軸對稱，是不是所有橢圓都關于x軸和y軸軸對稱？所有橢圓是不是都有兩條對稱軸？同樣的，是不是所有的橢圓都像該橢圓一樣都關于原點中心對稱呢？是不是所有的橢圓都有一個對稱中心呢？

　　以上問題均有學生作答。最終總結出橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。

　　【設計意圖】用代數法判斷對稱性具有一定難度，教師適當引導，突出“任意取一點”。學以致用能讓學生體會到利用方程判斷曲線對稱性的好處。研究該橢圓對稱性時，指出一般橢圓的對稱性，體現特殊與一般的區別。

　　探究3

　　師：研究曲線上某些特殊點，可以確定曲線的位置。要確定曲線在坐標系中的

　　位置，這常常需要求出其與x軸和y軸的交點坐標。

　　問題1：該橢圓與x軸和y軸的交點坐標分別是什么？

　　指出長軸長，短軸長和長半軸長，短半軸長；x軸和y軸為該橢圓的對稱軸，橢圓與坐標軸的4個交點為橢圓的頂點。

　　問題2：橢圓的頂點如何定義？

　　預案：學生可能會回答橢圓與x軸和y軸的交點稱為橢圓的頂點。

　　【設計意圖】讓學生理解研究特殊點的意義；明確特殊與一般的區別

　　收集有關笛卡兒與解析幾何，費馬與解析幾何的資料，結合本節課學習，

　　寫一篇小論文。

　　【設計意圖】理清知識結構，關注探究過程中的活動體驗；加強課堂中數學思想和數學文化的滲透。

　　5.分層作業

　　必做：教材第48頁練習2，3，4，5。

　　選做：教材第49頁習題2.2，A組：9。

　　【設計意圖】必做題為橢圓幾何性質的應用；選做題需用方程研究橢圓性質。

　　教學反思

　　本課是在學生學習了曲線與方程、橢圓的定義和標準方程的基礎上，根據方程研究橢圓的幾何性質。橢圓是生活中常見的曲線，研究它的幾何性質，對于后續學習圓錐曲線有重要的指導作用，也為研究雙曲線和拋物線奠定了基礎。

　　1.創設合理問題情境

　　指出長軸長，短軸長和長半軸長，短半軸長；x軸和y軸為該橢圓的對稱軸，橢圓與坐標軸的4個交點為橢圓的頂點。

　　問題2：橢圓的頂點如何定義？

　　預案：學生可能會回答橢圓與x軸和y軸的交點稱為橢圓的頂點。

　　在離心率的引入中，筆者之前的問題是橢圓的扁平程度不一，用什么量可以刻作橢圓的'扁平程度？現在問題是用a，b，c中的哪兩個量的比值可以刻作橢圓的扁平程度？問題更加明確和開放，同時也更有價值。

　　在以問題串引領的四次探究中，學生**思考與小組合作相結合，通過多種方法探求橢圓的范圍，使學生既經歷了用方程研究曲線性質的過程，又理解了數學知識間的密切聯系；通過方程判斷曲線對稱性使學生體會到解析法的好處；離心率的引入既開放又明確，使學生理解得更加自然透徹。

　　3.及時反饋增進知識理解

　　例題教學是數學課堂中重要的環節，是把知識，技能和思想方法聯系起來的一條紐帶。筆者注重學生對習題的規范解答，鼓勵學生從多個角度發現和解決問題，同時也注意引導學生關注不同方法的區別與聯系；在課堂總結環節中，不但要引導學生理清知識結構，關注探究過程中的活動體驗，更要加強在課堂中對數學思想和文化的滲透。

　　4.多**合理應用

　　在探究過程中，筆者用幻燈片及時地展示出圖形和問題；學生的探究結果用投影儀清晰直接地展示，提高了課堂效率；離心率引入時，用幾何畫板軟件動態演示，學生理解得更形象生動。

橢圓二重積分極坐標（精選一篇）（擴展5）

——《橢圓形》中班數學教案實用一篇

　　《橢圓形》中班數學教案 1

　　活動目標：

　　1.發展目測力、判斷力。

　　2.在與圓形的比較中學正確感知橢圓形。

　　3.能根據其特征在許多圖形中找出橢圓形。

　　活動內容：

　　有趣的橢圓形。

　　活動準備：

　　1.正方形、長方形、三角形、圓形卡片一套 。

　　2.課件一個(秋姑娘送禮物的畫面)。

　　3.圓形、橢圓形卡片人手一套。

　　4.操作紙、油畫棒。

　　5.實物：盒子、碟子、樹葉、蘋果、檸檬、雞蛋、籃子等 。

　　課程實錄：

　　一、導入活動

　　復習已經認識的圖形。

　　師：“看，誰來了?”(出示秋姑娘送禮物的畫面)。

　　幼：“秋姑娘。”

　　師：“秋天來了，秋姑娘給我們送來了許多禮物，我們一起來看看有什么禮物?

　　幼：“有餅干。”

　　師：“這些餅干是什么形狀的?

　　幼：“這是三角形的草莓味餅干。”

　　幼：“有正方形的蘋果味餅干。”

　　幼：“還有長方形的香蕉味餅干。”

　　幼：“還有圓圓的.香橙味餅干。”

　　評析：通過秋姑娘送禮物，讓幼兒復習已經認識的圖形，為學習認識橢圓形做好知識準備。

　　二、認識橢圓形。

　　師：請小朋友拿出手中的兩張卡片(圓形和橢圓形)，找一找哪個是長長的圓、扁扁的圓?

　　幼：這個比圓形長的圓是橢圓形。

　　師：我們把這個長長、扁扁的圓 評析：叫做橢圓形。

　　評析： 幼兒 根據老師提示，能把圓形和橢圓形進行比較，找出 長長、扁扁的圓。

　　三、比較圓形和橢圓形

　　(1)比較相同點。請幼兒摸圓形和橢圓形的邊緣，引導其觀察發現相同點：都是沒有角的。

　　(2)區別不同點。把圓形、橢圓形中心重疊放置，讓幼兒進行比較觀察，然后請幼兒將自己的兩個圖形從中心上、下、左、右對折打開，每張紙上出現“十”折印，www.300168.com分別說圓形、橢圓形的四道折印各有什么不同?

　　評析： 幼兒通過操作和探索，主動地學習找出圓形和橢圓形的相同點和不同點，給他們營造了一個寬松、愉快的心理氣氛，為發揮幼兒的主體性創造了條件。

　　四、找橢圓形。

　　出示盒子、碟子、樹葉、蘋果、檸檬、雞蛋、籃子、哈密瓜等。

　　師：調皮的橢圓形要和我們捉迷藏，我們一起找一找哪些東西象橢圓形?

　　幼：雞蛋象橢圓形。

　　幼：盒子的面是橢圓形。

　　幼：樹葉是橢圓形的。

　　幼：籃子的底面是橢圓形。

　　幼：哈密瓜象橢圓形。

　　幼：碟子也是橢圓形的。

　　評析：橢圓形的。通過出示實物進一步激發幼兒的學習興趣，而且讓幼兒在寬松的氛圍里**地和同伴交流，不僅鍛煉了他們的口語表達能力，而且增強了其大膽發言的信心。

　　五、給橢圓形寶寶涂色。

　　指導幼兒在幾何圖形組成的畫中找出橢圓形，并給橢圓形涂上顏色。

　　評析：幼兒的操作興趣高漲主動性、積極性得到了充分調動，在探索中獲得了學習經驗。

　　區角活動： 在科學角里投放正方形、長方形、三角形、圓形、橢圓形，讓幼兒用圖形組合成各種物體。

　　教師自評： 整個活動目標明確，層次清楚，環環相扣，層層推進，達到了預期的目標和效果。

　　園長點評：孩子們在活動中通過觀察、比較、分析等方法區分了圓形和橢圓形的不同，認識了橢圓形，能正確掌握圓形和橢圓形的名稱，了解橢圓形的特點，在操作活動中，幼兒能按照老師的要求進行操作，幼兒的操作習慣較好，在整個活動中，幼兒的常規也很不錯，能積極的舉手回答問題，幼兒的活動興趣濃。教師以啟發、引導的方式，充分調動幼兒學習的積極性，并以“游戲”貫穿活動始終，讓幼兒在玩中獲得知識，習得經驗，真正體現玩中學，學中樂。

　　活動反思

　　本次活動的目標是通過操作，感知圓形和橢圓形的不同，了解橢圓形的主要特征。 提高觀察能力和比較能力。

　　引導幼兒說出日常生活中見到過的類似橢圓形的物體。找找在教室里、幼兒園還看到過哪些橢圓形的物體，并小組記錄下來與同伴分享交流。孩子們在活動中收獲的不僅是對圓形和橢圓形，更重要的他們懂得如何去區別它們之間的不一樣。

橢圓二重積分極坐標（精選一篇）（擴展6）

——中考數學考點橢圓的面積公式講解(精選一篇)

　　中考數學考點橢圓的面積公式講解 1

　　S=π(圓周率)×a×b(其中a,b分別是橢圓的長半軸,短半軸的長).

　　或S=π(圓周率)×A×B/4(其中A,B分別是橢圓的長軸,短軸的長).

　　橢圓的周長公式

　　橢圓周長沒有公式，有積分式或無限項展開式。

　　橢圓周長(L)的精確計算要用到積分或無窮級數的.求和。如

　　L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [橢圓近似周長], 其中a為橢圓長半軸,e為離心率

　　橢圓離心率的定義為橢圓上的點到某焦點的距離和該點到該焦點對應的準線的距離之比，設橢圓上點P到某焦點距離為PF，到對應準線距離為PL，則

　　e=PF/PL

　　橢圓的準線方程

　　x=±a^2/C

　　橢圓的離心率公式

　　e=c/a(e2c)

　　橢圓的焦準距 ：橢圓的焦點與其相應準線(如焦點(c,0)與準線x=+a^2/C)的距離,數值=b^2/c

　　橢圓焦半徑公式 |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0

　　橢圓過右焦點的半徑r=a-ex

　　過左焦點的半徑r=a+ex

　　橢圓的通徑：過焦點的垂直于x軸(或y軸)的直線與橢圓的兩交點A,B之間的距離，數值=2b^2/a

　　點與橢圓位置關系 點M(x0，y0) 橢圓 x^2/a^2+y^2/b^2=1

　　點在圓內： x0^2/a^2+y0^2/b^2

　　點在圓上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1

　　點在圓外： x0^2/a^2+y0^2/b^2>1

　　直線與橢圓位置關系

　　y=kx+m ①

　　x^2/a^2+y^2/b^2=1 ②

　　由①②可推出x^2/a^2+(kx+m)^2/b^2=1

　　相切△=0

　　相離△

　　相交△>0 可利用弦長公式：A(x1,y1) B(x2,y2)

　　|AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2

　　橢圓通徑(定義：圓錐曲線(除圓外)中，過焦點并垂直于軸的弦)公式：2b^2/a

　　橢圓的斜率公式 過橢圓上x^2/a^2+y^2/b^2=1上一點(x，y)的切線斜率為 -(b^2)X/(a^2)y

橢圓二重積分極坐標（精選一篇）（擴展7）

——橢圓形樹葉簡筆畫畫法（精選一篇）

　　橢圓形樹葉簡筆畫畫法 1

橢圓二重積分極坐標（精選一篇）（擴展8）

——橢圓的標準方程(精選一篇)

　　橢圓的標準方程 1

　　橢圓的切線定理是什么

　　定理1：設F1、F2為橢圓C的兩個焦點，P為C**意一點。若直線AB切橢圓C于點P，且A和B在直線**于P的兩側，則∠APF1=∠BPF2。（也就是說，橢圓在點P處的切線即為∠F1PF2的`外角平分線所在的直線）。

　　定理2：設F1、F2為橢圓C的兩個焦點，P為C**意一點。若直線AB為C在P點的法線，則AB平分∠F1PF2。